冲激函数

1. 当 $k$ 为奇数时，

   从而有 $\delta(t^k) = \dfrac{\delta(t)}{k t^{k-1}} = \dfrac{\delta(t)}{k \vqty{t}^{k-1}}$.

2. 当 $k$ 为偶数时，

   从而有 $\delta(t^k) = \dfrac{\delta(t)}{k\vqty{t}^{k-1}}$.

综上所述，$\delta(t^k) = \dfrac{\delta(t)}{k\vqty{t}^{k-1}}$.

备注：这是我发现该性质的心路历程，证明的话也可以直接正向计算. 这里的绝对值并不奇怪，注意到左式本身就是恒大于等于零的.

冲激函数高阶导数

由该性质第一点和相互关系即得. 证毕.